Ejercicios

1. Para cada uno de los siguientes experimentos, se pide definir el espacio muestral:
1. Se analiza un tubo de ensayo con una muestra para detectar la presencia o ausencia de una molécula contaminante.
2. Se seleccionaron sucesivamente dos artículos de una producción y se clasifica cada uno en NORMAL o DEFECTUOSO.
3. Se arroja una moneda.
4. Se seleccionaron dos billetes de una billetera que contiene: un billete de $10, uno de $50 y uno de $20. Considerar al experimento con y sin reposición.
5. De una caja que contiene bolillas blancas y negras, se extraen sucesivamente hasta obtener dos bolillas blancas o cuatro bolillas cualesquiera.
2. Describir por extensión los siguientes sucesos correspondientes a los experimentos aleatorios descriptos en el ítem b del ejercicio anterior.

A = el primer artículo es defectuoso.

B = al menos uno de los artículos es defectuoso.

C = ambos artículos son defectuosos.

3. Considerando el ítem 2, indicar el valor de verdad de las siguientes preposiciones:
1. A ⊂ B (incluido) _______________________
2. C ⊂ A (incluido) _______________________
3. A ∩ C es un evento imposible _______________________
4. El complemento de un evento imposible es verdadero _______________________
4. Supongamos que se lanza una moneda tres veces y se observan las caras superiores registrando cara o cruz según corresponda.
1. Establecer el espacio muestral de este experimento.
2. Asignar una probabilidad a cada punto. ¿Se trata de un espacio de equiprobabilidad?
3. Sea A el evento de observar exactamente una sola vez cara, y B, el evento de observar al menos una cara. Obtener los espacios muestrales de A y de B.
4. A partir de las respuestas del ítem anterior, calcular: P(A), P(B).
5. Describir por extensión los siguientes sucesos correspondientes a los experimentos aleatorios descriptos en el ítem b del ejercicio anterior.

A = el primer artículo es defectuoso.

B = al menos uno de los artículos es defectuoso.

C = ambos artículos son defectuosos.

Ejercicios Resueltos

1. Para cada uno de los siguientes experimentos, se pide definir el espacio muestral:
1. Se analiza un tubo de ensayo con una muestra para detectar la presencia o ausencia de una molécula contaminante.
$\#E = \{\text{PRESENCIA}, \text{AUSENCIA}\}$
2. Se seleccionaron sucesivamente dos artículos de una producción y se clasifica cada uno en NORMAL o DEFECTUOSO.
$\#E = \{\text{NN}, \text{ND}, \text{DD}, \text{DN}\}$
3. Se arroja una moneda.
$\#E = \{\text{Cara}, \text{Cruz}\}$
4. Se seleccionaron dos billetes de una billetera que contiene: un billete de $10, uno de $50 y uno de $20. Considerar al experimento con y sin reposición.

Sin reposición:

$\#E = \left\{\begin{array}{ll} \text{\$10, \$20} \\ \text{\$10, \$50} \\ \text{\$50, \$10} \\ \text{\$50, \$20} \\ \text{\$20, \$50} \end{array}\right\}$

Con reposición:

$\#E = \left\{\begin{array}{ll} \text{\$10, \$10} \\ \text{\$10, \$20} \\ \text{\$10, \$50} \\ \text{\$20, \$10} \\ \text{\$20, \$20} \\ \text{\$20, \$50} \\ \text{\$50, \$10} \\ \text{\$50, \$20} \\ \text{\$50, \$50} \end{array}\right\}$
5. De una caja que contiene bolillas blancas y negras, se extraen sucesivamente hasta obtener dos bolillas blancas o cuatro bolillas cualesquiera.
$\#E = \left\{\begin{array}{ll} \text{BB} \\ \text{NBB} \\ \text{BNB} \\ \text{NBNB} \\ \text{BNNB} \\ \text{NNNB} \\ \text{NNBB} \\ \text{NBNN} \\ \text{NNNN} \\ \text{NNBN} \\ \text{BNNN} \\ \end{array}\right\}$
2. Describir por extensión los siguientes sucesos correspondientes a los experimentos aleatorios descriptos en el ítem b del ejercicio anterior.

A = el primer artículo es defectuoso.

$\#A = \left\{\begin{array}{ll} \text{DD} \\ \text{DN} \\ \end{array}\right\}$

B = al menos uno de los artículos es defectuoso.

$\#B = \left\{\begin{array}{ll} \text{DD} \\ \text{DN} \\ \text{ND} \\ \end{array}\right\}$

C = ambos artículos son defectuosos.

$\#C = \left\{\begin{array}{ll} \text{DD} \\ \end{array}\right\}$
3. Considerando el ítem 2, indicar el valor de verdad de las siguientes preposiciones:
1. A ⊂ B (incluido) ____________ V ___________
2. C ⊂ A (incluido) ____________ V __________
3. A ∩ C es un evento imposible ____________ F ___________
4. El complemento de un evento imposible es verdadero ____________ V ___________
4. Supongamos que se lanza una moneda tres veces y se observan las caras superiores registrando cara o cruz según corresponda.
1. Establecer el espacio muestral de este experimento.
$2^3$
$\#E = \left\{\begin{array}{ll} \text{SSS} \\ \text{CSS} \\ \text{CCS} \\ \text{CCC} \\ \text{SCS} \\ \text{CSC} \\ \text{SCC} \\ \text{SSC} \\ \end{array}\right\}$
2. Asignar una probabilidad a cada punto. ¿Se trata de un espacio de equiprobabilidad?

Equiprobabilidad es un concepto en probabilidad que significa que todos los resultados posibles de un experimento tienen la misma probabilidad de ocurrir.

Por ejemplo, si lanzas una moneda justa, hay dos resultados posibles (cara o cruz), y ambos tienen la misma probabilidad de ocurrir, es decir, 50% o 0.5 para cada uno.

De manera similar, al lanzar un dado justo de seis caras, cada número (1, 2, 3, 4, 5, 6) tiene una probabilidad de 1/6 de salir. En estos casos, se dice que los eventos son equiprobables.

En resumen, la equiprobabilidad implica que ningún resultado tiene ventaja sobre los demás, y cada uno es igualmente probable. A lo que “Si”, se trata de un estado de equiprobabilidad.

3. Sea A el evento de observar exactamente una sola vez cara, y B, el evento de observar al menos una cara. Obtener los espacios muestrales de A y de B.
$\#A = \left\{\begin{array}{ll} \text{CSS} \\ \text{SCS} \\ \text{SSC} \\ \end{array}\right\} \quad \text{(Cantidad de elementos: } |A| = 3\text{)}$

$P(A) = \frac{\text{Cantidad de Favorables}}{\text{Cantidad de Posibles}} = \frac{|A|}{\text{Total}} = \frac{3}{\text{8}}$

$\#B = \left\{\begin{array}{ll} \text{CSS} \\ \text{CCS} \\ \text{CCC} \\ \text{SCS} \\ \text{CSC} \\ \text{SCC} \\ \text{SSC} \\ \end{array}\right\} \quad \text{(Cantidad de elementos: } |B| = 7\text{)}$

$P(B) = \frac{\text{Cantidad de Favorables}}{\text{Cantidad de Posibles}} = \frac{|B|}{\text{Total}} = \frac{7}{\text{8}}$

4. A partir de las respuestas del ítem anterior, calcular: P(A), P(B).
$\#A = \left\{\begin{array}{ll} \text{CSS} \\ \text{SCS} \\ \text{SSC} \\ \end{array}\right\} \quad \text{(Cantidad de elementos: } |A| = 3\text{)}$

$P(A) = \frac{|A|}{\text{Total}} = \frac{3}{8}$

Nota: Asumiendo que el total de elementos posibles es 8.

$\#B = \left\{\begin{array}{ll} \text{CSS} \\ \text{CCS} \\ \text{CCC} \\ \text{SCS} \\ \text{CSC} \\ \text{SCC} \\ \text{SSC} \\ \end{array}\right\} \quad \text{(Cantidad de elementos: } |B| = 7\text{)}$

$P(B) = \frac{|B|}{\text{Total}} = \frac{7}{8}$

Nota: Asumiendo que el total de elementos posibles es 8.

Definición Axiomática de Probabilidad

La probabilidad es una medida que cuantifica la certeza o posibilidad de que ocurra un evento. La definición axiomática de probabilidad está basada en tres axiomas fundamentales propuestos por Andrey Kolmogorov. Estos axiomas establecen las propiedades básicas que debe cumplir una función de probabilidad:

1. Axioma de No Negatividad: Para cualquier evento ( A ), la probabilidad de ( A ) es mayor o igual a 0, es decir:

   $P(A) \geq 0$

2. Axioma de Normalización: La probabilidad del espacio muestral completo es 1, es decir:

   $P(\Omega) = 1$

3. Axioma de Adición: Para cualquier par de eventos mutuamente excluyentes ( A ) y ( B ), la probabilidad de la unión de ( A ) y ( B ) es la suma de sus probabilidades, es decir:

   $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
   si
   $A \cap B = \emptyset$

Consecuencias de la Definición

• Probabilidad de la Intersección: La probabilidad de la intersección de dos eventos ( A ) y ( B ) puede ser calculada como

  $P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)$

• Probabilidad del Complemento: La probabilidad del complemento de un evento ( A ) se define como

  $P(A^c) = 1 - P(A)$

• Probabilidad Condicional: La probabilidad condicional de ( A ) dado ( B ) se define como

  $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$
  , siempre que ( P(B) > 0 ).

Probabilidad Condicional

La probabilidad condicional se utiliza para calcular la probabilidad de un evento dado que otro evento ha ocurrido. Se denota como ( P(A|B) ) y se calcula utilizando la fórmula:

(Nota: Este tema se abordará en detalle en la Unidad 3).

Teorema de la Probabilidad Total

El Teorema de la Probabilidad Total permite calcular la probabilidad de un evento considerando una partición del espacio muestral en eventos disjuntos. Si

(Nota: Este tema se abordará en detalle en la Unidad 3).

Teorema de Bayes

El Teorema de Bayes es una aplicación de la probabilidad condicional que permite actualizar la probabilidad de un evento basado en nueva evidencia. Se expresa como:

(Nota: Este tema se abordará en detalle en la Unidad 3).