Probabilidad Y Estadística

Probabilidad y Estadística

Clase I - 13 de agosto de 2024

La primera clase volvimos a tener con la profesora que tuvimos en Matematica I, Por suerte su forma de enseñar fue genial y considero que fue la materia que mas aprendi el cuatrimestre anterior, lastimosamente este cuatrimestre no es presencial , Esperemos que La Desenvoltura de forma online sea la misma.

Unidad 1:

Probabilidad. Espacio muestral. Sucesos. Sucesos mutuamente excluyentes. Partición de un espacio muestral .Sucesos complementarios. Definición clásica de probabilidad.

¿Qué es la PROBABILIDAD?

La probabilidad es un número, que va del cero al uno y que mide el riesgo de ocurrencia. Ese número me indica el grado de riesgo que existe acerca de la ocurrencia de un suceso o evento, donde el valor cero indica imposibilidad de ocurrencia y el número uno indica absoluta certeza acerca de la ocurrencia de ese suceso o evento.

Tenemos que ver que suceso o evento se le puede calcular

Conceptos Basicos A tener en cuenta

Fenomeno Deterministico: Se sabe con toda certeza cual será su comportamiento.

Fenomeno Aleatorio o Probabilístico: No se puede afirmar con certeza cuál será su comportamiento.

Experimento : Proceso por medio del cual se obtiene una observación , Por ejemplo lanzar un dado para ver que va a salir.

Experimento: 1 Se observan tres automóviles en una salida de la autopista para ver si dan vuelta a la izquierda o a la derecha al final de de la rampa de salida.

Union = U Intersección = ∩

Todos los posibles resultados de dicho experimento son:

U = \{III, DII, IDI, IID, IDD, DID, DDI, DDD\}

Donde D Representa hacia la derecha e “I” hacia la izquierda

Suceso Elemental o evento Simple: Cada uno de los posibles resultados, que no se pueden descomponer en otros más simples, da un experimento aleatorio.

Espacio Muestral: Es el conjunto que consta de todos los posibles sucesos elementales. Por lo general se denota con la letra U o S.

U = \{1,2,3,4,5,6\} \text{ del experimento de lanzar una dado}

U = \{1, 2\} \text{ del experimento de lanzar una moneda}

Suceso: Subconjunto del espacio muestral. Por ejemplo, que al lanzar un dado salga un número múltiplo de 3.

Suceso Imposible: Es el suceso que no contiene ningún suceso elemental. En conjunto vació lo representa

Partición de un Espacio Muestral

Son todas aquellas divisiones mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivas que se pueden realizar sobre un espacio muestral. Es por este motivo que puedo tener como máximo tantos particiones como eventos tenga el espacio muestral.

Dos eventos son mutuamente excluyentes cuando esos eventos son particiones de un mismo espacio muestral. En otras palabras, dos eventos A Y son mutuamente excluyentes si la ocurrencia de uno implica la no ocurrencia del otro.

Dos eventos son colectivamente excluyentes cuando en conjunto involucran a la totalidad del espacio muestral. Es decir, la unión de los conjuntos que los representan conforman el espacio muestral.

Dos eventos son colectivamente exhautivos cuando en conjunto involucran a la totalidad del espacio muestral. Es decir, la unión de los conjuntos que los representan conforman el espacio muestral.

Ejemplo:

Se arroja un dado y se observa el número que sale.

U = \{1,2,3,4,5,6\} \text{ del experimento de lanzar una dado}

Definimos los siguientes sucesos:

A = \{2, 4, 6\} \text{ (sale un número par)}

B = \{1, 3, 5\} \text{ (sale un número impar)}

C = \{3, 6\} \text{ (sale un múltiplo de 3)}

Los sucesos A y B son particiones de U, Ya que son mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos

Mutuamente Excluyentes: Es uno o es el otro , se cumple que si es par no se cumple que es impar

Colectivamente exhaustivos: Porque si hago la union de todos los sucesos me da el total del universo

A \cup B = \{2, 4, 6, 1, 3, 5\} = U

\text{A unión B} = \{2, 4, 6, 1, 3, 5\} = \text{universo}

D = \text{Que salga número par y múltiplo de 3} = A \cap C = \{6\}

La conjunción de dos sucesos equivale a la intersección de los mismos

E = \text{Que salga número impar y múltiplo de 3} = B \cap C = \{3\}

F = \text{Que salga número par o múltiplo de 3} = A \cup C = \{2, 3, 4, 6\}

El operador “o” equivale a la unión de los conjuntos.

G = \text{Que salga número impar o múltiplo de 3} = B \cup C = \{1, 3, 5, 6\}

Como los sucesos son conjuntos pueden operarse como tales aplicando la unión la intersección, la diferencia, la diferencia simétrica y el complemento.

Representación grafica con diagramas de Venn.

Diagrama de Venn de los sucesos A y B

La región sombreada es A ∩ B (intersección) representan a los elementos que pertenecen al suceso A y al suceso B

Diagrama de Venn de los sucesos A intersección B

La región sombreada es A U B (unión) representan a los elementos que pertenecen al suceso A y al suceso B o a ambos

Sucesos A Y B mutuamente excluyentes, Cuando ocurre uno de los sucesos, el otro no puede ocurrir.

La región sombreada es el complemento de A

Representa a los elementos que pertenecen al suceso A o bien al suceso B pero no a Ambos , osea que la intersección no es agregada

Concepto de Probabilidad. Propiedades.

Definición clasica de la probabilidad.

Espacio muestral comprobable “Todos los sucesos elementales tienen igual probabilidad de ocurrir”

Definición clásica de probabilidad

Sea un suceso aleatorio ( S ) definido en un espacio muestral ( U ) . La probabilidad de ocurrencia de ( S ) se define como el cociente entre los casos favorables al suceso aleatorio ( S ) y los casos posibles del experimento aleatorio.

P(S) = \frac{\text{Casos favorables al suceso}}{\text{Casos posibles del experimento}}

P(S) = \frac{CF}{CP}

Ejemplo

E4: Se arroja un dado y se observa el número que sale.

A = \{\text{sale número par}\} = \{2,4,6\}

A = \{\text{sale número impar}\} = \{1,3,5\}

A = \{\text{sale múltiplo de 3}\} = \{3,6\}

Para calcular la probabilidad de que salga un numero par hacemos:

P(A) = \frac{\text{Casos favorables al suceso}}{\text{Casos posibles del experimento}} = \frac{3}{6} = 0.5

Para calcular la probabilidad de que salga un número impar

P(A) = \frac{\text{Casos favorables al suceso}}{\text{Casos posibles del experimento}} = \frac{3}{6} = 0.5

Para calcular la probabilidad de que salga un múltiplo de 3

P(A) = \frac{\text{Casos favorables al suceso}}{\text{Casos posibles del experimento}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

Para calcular la probabilidad de que no salga un número par:

P(A^c) = \frac{\text{Casos favorables al suceso}}{\text{Casos posibles del experimento}} = \frac{3}{6} = 0.5

Para calcular la probabilidad de que no salga un múltiplo de 3:

P(A^c) = \frac{\text{Casos favorables al suceso}}{\text{Casos posibles del experimento}} =\frac{4}{6} = \frac{2}{3}

Para calcular la probabilidad de que salga un número par o impar:

P(A \cup B) = \frac{\text{Casos favorables al suceso}}{\text{Casos posibles del experimento}} = \frac{3}{6} + \frac{3}{6} = \frac{6}{6} = 1

P(A \cap B) = \frac{\text{Casos favorables al suceso par y múltiplo de 3}}{\text{Casos posibles del experimento}} = \frac{1}{6}

Axiomas de la probabilidad

La probabilidad se basa en tres axiomas fundamentales establecidos por el matemático Andrey Kolmogorov:

Axioma 1: La probabilidad de cualquier evento es un número no negativo.

P(A) \geq 0

Axioma 2: La probabilidad del espacio muestral completo es 1.

P(U) = 1

Axioma 3: La probabilidad de la unión de eventos mutuamente excluyentes es la suma de sus probabilidades.

P(A \cup B) = P(A) + P(B)

(si (A) y (B) son eventos mutuamente excluyentes)

Estos axiomas forman la base para el cálculo de probabilidades y para el desarrollo de modelos estadísticos y probabilísticos.

Ejemplo

En una pareja, cada uno de sus miembros posee genes para ojos castaños y para ojos azules. Teniendo en cuenta que cada uno tiene la misma probabilidad de aportar un gen para ojos castaños que para ojos azules y que el gen para ojos castaños es dominante, se desea obtener la probabilidad de que un hijo nacido de esta pareja tenga los ojos castaños.

Espacio muestral:

E = \text{Genes que aporta cada padre}

Supongamos que los genes están representados como:

C = \text{gen para ojos castaños}

A = \text{gen para ojos azules}

Dado que cada padre puede aportar uno de los dos genes con igual probabilidad, y el gen para ojos castaños (C) es dominante sobre el gen para ojos azules (A), tenemos los siguientes posibles pares de genes para el hijo:

$CC$
$CA$
$AC$
$AA$

Los pares de genes que resultan en ojos castaños son:

CC

CA

AC

Como el gen para ojos castaños (C) es dominante, cualquier combinación que tenga al menos un gen para ojos castaños resultará en ojos castaños. Por lo tanto, las combinaciones que dan como resultado ojos castaños son:

CC, CA, AC

La probabilidad de que el hijo tenga ojos castaños es:

P(\text{Ojos castaños}) = \frac{\text{Número de combinaciones favorables}}{\text{Número total de combinaciones}}

Existen 3 combinaciones favorables (CC, CA, AC) y 4 combinaciones posibles en total (CC, CA, AC, AA). Por lo tanto:

P(\text{Ojos castaños}) = \frac{3}{4} = 0.75

Así, la probabilidad de que un hijo nacido de esta pareja tenga ojos castaños es 0.75 o 75%.

Otro Ejemplo

Una mujer es portadora de hemofilia. Aunque la mujer no tenga la enfermedad, puede transmitirla a los hijos. Suponiendo que es igualmente probable que se transmita o no la enfermedad, obtendremos las probabilidades de los siguientes sucesos en tres hijos:

1. Ninguno tenga la enfermedad (Suceso A)

La probabilidad de que un hijo no tenga la enfermedad es

P(\text{No enfermedad}) = \frac{1}{2}

. Si consideramos tres hijos, la probabilidad de que ninguno de ellos tenga la enfermedad se puede calcular como:

P(\text{Ninguno tenga la enfermedad(Suceso A)o (A)}) = \frac{CF}{CP} = \frac{1}{8} = 0.125

Donde: CF (Casos Favorables) = 1 (solo la trayectoria NNN corresponde a que ninguno tenga la enfermedad).

CP (Casos Posibles) = 8 las trayectorias posibles en total, ya que hay 2 posibilidades por hijo y 3 hijos:

2^3

2. Dos hijos tengan la enfermedad (Suceso B)

La probabilidad de que un hijo tenga la enfermedad es

P(\text{Enfermedad}) = \frac{1}{2}

Las trayectorias posibles en las que exactamente dos hijos tengan la enfermedad son tres, por lo que la probabilidad es:

P(\text{Dos hijos tengan la enfermedad(Suceso B)o (B)}) = \frac{CF}{CP} = \frac{3}{8} = 0.375

Donde:

CF (Casos Favorables) = 3 (las trayectorias SSN, SNS, y NSS corresponden a dos hijos con la enfermedad).

CP (Casos Posibles) = 8 (las trayectorias posibles en total).

3. Obtener las trayectorias para este experimento mediante un diagrama de árbol

Podemos representar este problema utilizando un diagrama de árbol para visualizar todas las posibles trayectorias del experimento. El diagrama de árbol para este experimento se puede construir de la siguiente manera:

En el diagrama de árbol, cada rama representa la probabilidad de que un hijo tenga o no tenga la enfermedad. Las trayectorias posibles son:

$\text{SSS : Todos los hijos tienen la enfermedad.}$
$\text{SSN, SNS, NSS : Dos hijos tienen la enfermedad.}$
$\text{SNN, NSN, NNS : Un hijo tiene la enfermedad.}$
$\text{NNN : Ningún hijo tiene la enfermedad.}$

El espacio muestral total es:

2^3 = 8

trayectorias.

Considerando el siguiente experimento, escribe su espacio muestral.

Experimento:

Se elige un número natural al azar entre 1 y 5 al mismo tiempo que se elige un color entre rojo, verde, azul.

Espacio muestral:

$\{ (1, \text{rojo}), (1, \text{verde}), (1, \text{azul}), (2, \text{rojo}), (2, \text{verde}), (2, \text{azul}), (3, \text{rojo}), (3, \text{verde}), (3, \text{azul}), (4, \text{rojo}), (4, \text{verde}), (4, \text{azul}), (5, \text{rojo}), (5, \text{verde}), (5, \text{azul}) \}$

Se le puede decir de dos formas diferentes:

\text{\#E = espacio muestral/universo}

\text{\#U = espacio muestral/universo}

\text{\#E = 15}

\text{\#U = 15}

Ejercicios

Para cada uno de los siguientes experimentos, se pide definir el espacio muestral:

Se analiza un tubo de ensayo con una muestra para detectar la presencia o ausencia de una molécula contaminante.
Se seleccionaron sucesivamente dos artículos de una producción y se clasifica cada uno en NORMAL o DEFECTUOSO.
Se arroja una moneda.
Se seleccionaron dos billetes de una billetera que contiene: un billete de $10, uno de $50 y uno de $20. Considerar al experimento con y sin reposición.
De una caja que contiene bolillas blancas y negras, se extraen sucesivamente hasta obtener dos bolillas blancas o cuatro bolillas cualesquiera.

Describir por extensión los siguientes sucesos correspondientes a los experimentos aleatorios descriptos en el ítem b del ejercicio anterior.

A = el primer artículo es defectuoso.

B = al menos uno de los artículos es defectuoso.

C = ambos artículos son defectuosos.

Considerando el ítem 2, indicar el valor de verdad de las siguientes preposiciones:

A ⊂ B (incluido) _______________________
C ⊂ A (incluido) _______________________
A ∩ C es un evento imposible _______________________
El complemento de un evento imposible es verdadero _______________________

Supongamos que se lanza una moneda tres veces y se observan las caras superiores registrando cara o cruz según corresponda.

Establecer el espacio muestral de este experimento.
Asignar una probabilidad a cada punto. ¿Se trata de un espacio de equiprobabilidad?
Sea A el evento de observar exactamente una sola vez cara, y B, el evento de observar al menos una cara. Obtener los espacios muestrales de A y de B.
A partir de las respuestas del ítem anterior, calcular: P(A), P(B).

Describir por extensión los siguientes sucesos correspondientes a los experimentos aleatorios descriptos en el ítem b del ejercicio anterior.

A = el primer artículo es defectuoso.

B = al menos uno de los artículos es defectuoso.

C = ambos artículos son defectuosos.

Una bolsa contiene 10 bolas numeradas del 1 al 10. La experiencia consiste en extraer una bola al azar ¿Cuál es el espacio muestral?
Considerando Los siguientes Sucesos:

A = obtener un número primo

B = obtener un múltiplo de 3

Escribe los sucesos A, B, AUB y A∩B

Lanzamos tres veces una moneda obteniendo un suceso elemental. Escribe el espacio muestral para el suceso anterior.

¿Cuáles de dichos sucesos componen? :
$S = \{\text{la primera vez salió cara}\}$
Escribe otro suceso en el espacio muestral anterior y llámalo
$K.$
Escribe
$S \cup K$
y
$S \cap K$
.

Clase II - 20 de agosto de 2024

Se inicia la clase Resolviendo los Ejercicios de la clase anterior

Ejercicios Resueltos

Para cada uno de los siguientes experimentos, se pide definir el espacio muestral:

Se analiza un tubo de ensayo con una muestra para detectar la presencia o ausencia de una molécula contaminante.

\#E = \{\text{PRESENCIA}, \text{AUSENCIA}\}

Se seleccionaron sucesivamente dos artículos de una producción y se clasifica cada uno en NORMAL o DEFECTUOSO.

\#E = \{\text{NN}, \text{ND}, \text{DD}, \text{DN}\}

Se arroja una moneda.

\#E = \{\text{Cara}, \text{Cruz}\}

Se seleccionaron dos billetes de una billetera que contiene: un billete de $10, uno de $50 y uno de $20. Considerar al experimento con y sin reposición.

Sin reposición:

\#E = \left\{\begin{array}{ll} \text{\$10, \$20} \\ \text{\$10, \$50} \\ \text{\$50, \$10} \\ \text{\$50, \$20} \\ \text{\$20, \$50} \end{array}\right\}

Con reposición:

\#E = \left\{\begin{array}{ll} \text{\$10, \$10} \\ \text{\$10, \$20} \\ \text{\$10, \$50} \\ \text{\$20, \$10} \\ \text{\$20, \$20} \\ \text{\$20, \$50} \\ \text{\$50, \$10} \\ \text{\$50, \$20} \\ \text{\$50, \$50} \end{array}\right\}

De una caja que contiene bolillas blancas y negras, se extraen sucesivamente hasta obtener dos bolillas blancas o cuatro bolillas cualesquiera.

\#E = \left\{\begin{array}{ll} \text{BB} \\ \text{NBB} \\ \text{BNB} \\ \text{NBNB} \\ \text{BNNB} \\ \text{NNNB} \\ \text{NNBB} \\ \text{NBNN} \\ \text{NNNN} \\ \text{NNBN} \\ \text{BNNN} \\ \end{array}\right\}

Describir por extensión los siguientes sucesos correspondientes a los experimentos aleatorios descriptos en el ítem b del ejercicio anterior.

A = el primer artículo es defectuoso.

\#A = \left\{\begin{array}{ll} \text{DD} \\ \text{DN} \\ \end{array}\right\}

B = al menos uno de los artículos es defectuoso.

\#B = \left\{\begin{array}{ll} \text{DD} \\ \text{DN} \\ \text{ND} \\ \end{array}\right\}

C = ambos artículos son defectuosos.

\#C = \left\{\begin{array}{ll} \text{DD} \\ \end{array}\right\}

Considerando el ítem 2, indicar el valor de verdad de las siguientes preposiciones:

A ⊂ B (incluido) ____________ V ___________
C ⊂ A (incluido) ____________ V __________
A ∩ C es un evento imposible ____________ F ___________
El complemento de un evento imposible es verdadero ____________ V ___________

Supongamos que se lanza una moneda tres veces y se observan las caras superiores registrando cara o cruz según corresponda.

Establecer el espacio muestral de este experimento.

2^3

\#E = \left\{\begin{array}{ll} \text{SSS} \\ \text{CSS} \\ \text{CCS} \\ \text{CCC} \\ \text{SCS} \\ \text{CSC} \\ \text{SCC} \\ \text{SSC} \\ \end{array}\right\}

Asignar una probabilidad a cada punto. ¿Se trata de un espacio de equiprobabilidad?

Equiprobabilidad es un concepto en probabilidad que significa que todos los resultados posibles de un experimento tienen lamisma probabilidad de ocurrir.

Por ejemplo, si lanzas una moneda justa, hay dos resultados posibles (cara o cruz), y ambos tienen la misma probabilidad de ocurrir, es decir,50% o 0.5 para cada uno.

De manera similar, al lanzar un dado justo de seis caras, cada número (1, 2, 3, 4, 5, 6) tiene una probabilidad de 1/6 de salir.En estos casos, se dice que los eventos son equiprobables.

En resumen, la equiprobabilidad implica que ningún resultado tiene ventaja sobre los demás, y cada uno es igualmente probable. A lo que “Si”, se trata de un estado de equiprobabilidad.

Sea A el evento de observar exactamente una sola vez cara, y B, el evento de observar al menos una cara. Obtener los espacios muestrales de A y de B.

\#A = \left\{\begin{array}{ll} \text{CSS} \\ \text{SCS} \\ \text{SSC} \\ \end{array}\right\} \quad \text{(Cantidad de elementos: } |A| = 3\text{)}

P(A) = \frac{\text{Cantidad de Favorables}}{\text{Cantidad de Posibles}} = \frac{|A|}{\text{Total}} = \frac{3}{\text{8}}

\#B = \left\{\begin{array}{ll} \text{CSS} \\ \text{CCS} \\ \text{CCC} \\ \text{SCS} \\ \text{CSC} \\ \text{SCC} \\ \text{SSC} \\ \end{array}\right\} \quad \text{(Cantidad de elementos: } |B| = 7\text{)}

P(B) = \frac{\text{Cantidad de Favorables}}{\text{Cantidad de Posibles}} = \frac{|B|}{\text{Total}} = \frac{7}{\text{8}}

A partir de las respuestas del ítem anterior, calcular: P(A), P(B).

\#A = \left\{\begin{array}{ll} \text{CSS} \\ \text{SCS} \\ \text{SSC} \\ \end{array}\right\} \quad \text{(Cantidad de elementos: } |A| = 3\text{)}

P(A) = \frac{|A|}{\text{Total}} = \frac{3}{8}

Nota: Asumiendo que el total de elementos posibles es 8.

\#B = \left\{\begin{array}{ll} \text{CSS} \\ \text{CCS} \\ \text{CCC} \\ \text{SCS} \\ \text{CSC} \\ \text{SCC} \\ \text{SSC} \\ \end{array}\right\} \quad \text{(Cantidad de elementos: } |B| = 7\text{)}

P(B) = \frac{|B|}{\text{Total}} = \frac{7}{8}

Nota: Asumiendo que el total de elementos posibles es 8.

Unidad 2 y 3:

Unidad 2

Definición Axiomática de Probabilidad

La probabilidad es una medida que cuantifica la certeza o posibilidad de que ocurra un evento. La definición axiomática de probabilidad está basadaen tres axiomas fundamentales propuestos por Andrey Kolmogorov. Estos axiomas establecen las propiedades básicas que debe cumplir una función de probabilidad:

Axioma de No Negatividad: Para cualquier evento ( A ), la probabilidad de ( A ) es mayor o igual a 0, es decir:
$P(A) \geq 0$
Axioma de Normalización: La probabilidad del espacio muestral completo es 1, es decir:
$P(\Omega) = 1$
Axioma de Adición: Para cualquier par de eventos mutuamente excluyentes ( A ) y ( B ), la probabilidad de la unión de ( A ) y ( B ) es la suma de sus probabilidades, es decir:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
si
$A \cap B = \emptyset$

Consecuencias de la Definición

Probabilidad de la Intersección: La probabilidad de la intersección de dos eventos ( A ) y ( B ) puede ser calculada como
$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)$
Probabilidad del Complemento: La probabilidad del complemento de un evento ( A ) se define como
$P(A^c) = 1 - P(A)$
Probabilidad Condicional: La probabilidad condicional de ( A ) dado ( B ) se define como
$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$
, siempre que ( P(B) > 0 ).

Probabilidad Condicional

La probabilidad condicional se utiliza para calcular la probabilidad de un evento dado que otro evento ha ocurrido. Se denota como ( P(A|B) ) y se calcula utilizando la fórmula:

P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

Probabilidad Condicional

La probabilidad condicional se usa para calcular la probabilidad de un evento ( A ) dado que otro evento ( B ) ya ha ocurrido, usando la siguiente fórmula:

Nota importante: para que esta fórmula sea válida, ( P(B) ) debe ser diferente de cero. Si ( P(B) = 0 ), no tendría sentido calcular ( P(A|B) ) porque no podríamos dividir entre cero, y, en términos prácticos, no podríamos tener certeza de un evento que nunca ocurre.

P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

Ejemplo

Imaginemos que queremos saber la probabilidad de que una carta extraída de una baraja sea un rey, dado que sabemos que es una carta de figura (rey, reina o jota).

Entonces, al aplicar la fórmula obtenemos:

P(A|B) = \frac{\frac{4}{52}}{\frac{12}{52}} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}

Por lo tanto, la probabilidad es

\frac{1}{3}

, o un 33.33%.

Independencia de Sucesos

En probabilidad, dos eventos

A

B

se consideran independientes si la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad de que ocurra el otro. En otras palabras, saber que un evento ocurrió no nos da ninguna información adicional sobre el otro evento.

La fórmula para determinar si dos eventos son independientes es:

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

Si esta igualdad se cumple, entonces los eventos

A

B

son independientes. De lo contrario, se consideran dependientes.

Ejemplo

Supongamos que lanzamos un dado y una moneda. Sea el evento

A

: “obtener un número par en el dado” y el evento

B

: “obtener cara en la moneda”.

Como el resultado del dado no afecta el de la moneda (y viceversa), estos eventos son independientes. Entonces:

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

Es decir, la probabilidad de obtener un número par en el dado y cara en la moneda es

\frac{1}{4}

, o un 25%.

Nota importante: Si no se cumple que

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

, los eventos no son independientes.

Clase III - 13 de agosto de 2024

Esta clase no la pude presenciar ni hay grabaciones solamente un Powerpoint

Teorema de la Probabilidad Total

El Teorema de la Probabilidad Total es una herramienta que nos permite calcular la probabilidad de un evento cuando dicho evento puede suceder de varias formas distintas, es decir, a través de diferentes “caminos” o “escenarios”. En esencia, este teorema nos permite desglosar la probabilidad de un evento en función de probabilidades individuales de escenarios mutuamente excluyentes que cubren todas las posibilidades del evento.

Por ejemplo, imaginemos que queremos calcular la probabilidad de que una persona compre un seguro. En este caso, podríamos dividir el análisis en factores que podrían influir, como su grupo de edad o su nivel de ingresos. El Teorema de la Probabilidad Total nos ayuda a organizar estas posibilidades y sumar las probabilidades de cada caso particular para obtener la probabilidad global.

En resumen, este teorema es ideal cuando:

Queremos calcular la probabilidad de un evento que depende de distintas condiciones.
Tenemos situaciones o subgrupos que cubren todas las alternativas posibles del evento.

Teorema de Bayes

El Teorema de Bayes es fundamental en probabilidad y estadística para actualizar nuestra comprensión de la probabilidad de un evento a medida que recibimos nueva información. Este teorema permite responder preguntas como: “¿Cómo cambia la probabilidad de un evento tras obtener nuevos datos o pruebas adicionales?“.

Imaginemos un ejemplo médico en el cual estamos interesados en conocer la probabilidad de que una persona tenga cierta enfermedad. Podemos partir de una probabilidad inicial, basada en la información general de la población, pero si realizamos una prueba y obtenemos un resultado positivo, el Teorema de Bayes nos ayuda a ajustar esa probabilidad inicial considerando la precisión de la prueba y la frecuencia de la enfermedad en la población.

Este teorema es especialmente útil en situaciones como:

Diagnósticos médicos, donde ajustamos probabilidades a medida que obtenemos resultados de pruebas.
Aprendizaje automático y análisis de datos, en los cuales se ajustan modelos probabilísticos con nueva información.
Evaluación de hipótesis y toma de decisiones bajo incertidumbre, donde la probabilidad de un evento puede cambiar al considerar nueva evidencia.

En resumen, el Teorema de Bayes permite actualizar la probabilidad de un evento en función de información reciente, haciendo que los cálculos sean más precisos y específicos al contexto.

Teorema de la Probabilidad Total

$\sum$

es el símbolo de la sumatoria.

El símbolo

\sum

representa la sumatoria en matemáticas, que es una operación que consiste en sumar una secuencia de números o términos. Es una forma compacta de expresar la suma de muchos términos, y es especialmente útil en matemáticas, estadísticas, y muchas otras disciplinas.

Notación

En su forma más general, la notación de la sumatoria es:

\sum_{i=m}^{n} a_i

$\sum$
es el símbolo de la sumatoria.
i es el índice de suma, que indica la variable sobre la cual se suman los términos.
m es el índice inferior, que indica el valor inicial del índice de suma.
n es el índice superior, que indica el valor final del índice de suma.
a_i es la expresión que se suma para cada valor del índice i.

Ejemplo

Si queremos sumar los números del 1 al 5, podemos escribirlo como:

\sum_{i=1}^{5} i

Esto significa que debemos sumar

i

desde

i=1

hasta

i=5

, lo cual es igual a:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

Uso en Fórmulas

En el contexto de la probabilidad, la sumatoria se usa para sumar probabilidades condicionales, esperanzas matemáticas, y otros cálculos que involucran una serie de eventos o valores. Por ejemplo, el Teorema de la Probabilidad Total utiliza la sumatoria para calcular la probabilidad total de un evento

A

basado en una partición del espacio muestral:

P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A \mid B_i) \cdot P(B_i)

Aquí se suman las probabilidades de:

A

dado cada

B_i

multiplicadas por la probabilidad de

B_i

, para obtener la probabilidad total de

A

El Teorema de la Probabilidad Total permite calcular la probabilidad de un evento considerando una partición del espacio muestral en eventos disjuntos. Si

B_1, B_2, \ldots, B_n

son eventos que forman una partición del espacio muestral, entonces:

P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A \mid B_i) \cdot P(B_i)

P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A|B_i) \cdot P(B_i)

(Nota: Este tema se abordará en detalle en la Unidad 3).

Teorema de Bayes

El Teorema de Bayes es una aplicación de la probabilidad condicional que permite actualizar la probabilidad de un evento basado en nueva evidencia. Se expresa como:

P(B_i|A) = \frac{P(A|B_i) \cdot P(B_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(A|B_j) \cdot P(B_j)}

Paso a Paso para Entender el Teorema de Bayes

Concepto de Probabilidades Iniciales: Antes de recibir nueva información, tenemos probabilidades iniciales (o a priori) sobre eventos. Por ejemplo, podríamos tener una idea de la prevalencia de una enfermedad en una población.
Nueva Información: Recibimos nueva evidencia o información que puede influir en nuestra percepción de la probabilidad del evento. Por ejemplo, un resultado positivo en una prueba médica.
Relación entre Eventos: Es crucial entender la relación entre el evento que estamos evaluando y la nueva información. Esto implica conocer:
- La probabilidad de obtener el resultado dado que el evento es cierto (veracidad de la prueba).
- La probabilidad del resultado dado que el evento es falso (falsedad de la prueba).
Cálculo de Probabilidades Actualizadas: Usamos la información anterior para calcular la probabilidad actualizada del evento usando el Teorema de Bayes. La fórmula es:
$P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}$
Interpretación de Resultados: Analizamos el resultado para tomar decisiones informadas. Por ejemplo, si la probabilidad de tener la enfermedad después de un resultado positivo es alta, podríamos considerar realizar más pruebas o iniciar un tratamiento.

¿Cuándo Usar el Teorema de Bayes en Lugar de la Probabilidad Total?

Condiciones de Interés: Usar el Teorema de Bayes es más apropiado cuando estamos interesados en actualizar una probabilidad en función de nueva información, mientras que el Teorema de la Probabilidad Total se utiliza para calcular probabilidades globales basadas en diferentes escenarios posibles.
Naturaleza de la Información: Si tenemos un evento que ocurre bajo condiciones inciertas y queremos adaptar nuestras creencias o probabilidades a la luz de nueva evidencia (por ejemplo, un diagnóstico médico), el Teorema de Bayes es más útil. El Teorema de la Probabilidad Total es útil cuando se desea calcular la probabilidad de un evento sin necesariamente actualizarla con nueva información.
Escenarios de Aplicación:
- Teorema de Bayes: Usado en medicina, inteligencia artificial y cualquier campo donde la información puede cambiar y se necesita ajustar la probabilidad.
- Teorema de la Probabilidad Total: Usado cuando se quiere tener una visión general de todas las posibilidades y calcular una probabilidad total de un evento.

Clase IV - Unidad 4 -

Variable Aleatoria: Definición y Clasificación

Definición: Una variable aleatoria es una función que asigna valores numéricos a los posibles resultados de un experimento aleatorio. Formalmente, si

S

es el espacio muestral de un experimento aleatorio, una variable aleatoria

X

es una función que asocia cada elemento

s

S

con un número real, es decir:

X: S \rightarrow \mathbb{R}

Clasificación:

Variable Aleatoria Discreta: Puede tomar un número finito o infinito numerable de valores. Ejemplo: el número de veces que sale cara al lanzar una moneda tres veces.
Variable Aleatoria Continua: Toma valores dentro de un intervalo continuo de números reales. Ejemplo: la altura de una persona en metros.

Variable Aleatoria Discreta

Una variable aleatoria discreta,

X

, toma un conjunto contable de valores. Sus funciones asociadas son:

• Función de Probabilidad

P(X = x)

: Define la probabilidad de que

X

tome el valor específico

x

P(X = x_i) = p_i \, \text{con} \, \sum_{i} p_i = 1

• Función de Distribución Acumulada (FDA)

F(x)

: Indica la probabilidad acumulada hasta un valor

x

F(x) = P(X \leq x) = \sum_{x_i \leq x} p(x_i)

Esperanza y Varianza

La esperanza y la varianza son medidas fundamentales para describir el comportamiento de una variable aleatoria.

• Esperanza o Valor Esperado

E(X)

: Representa el valor promedio esperado de

X

, definido como:

E(X) = \sum_{i} x_i \cdot p(x_i)

• Varianza

\sigma^2

: Mide la dispersión de los valores de

X

respecto a la esperanza. Se define como:

\sigma^2 = \sum_{i} (x_i - E(X))^2 \cdot p(x_i)

Donde

\sigma

es la desviación estándar, que es la raíz cuadrada de la varianza:

\sigma = \sqrt{\sigma^2}

actualizada

Variables Aleatorias

Variable Aleatoria: Concepto
Una variable aleatoria es una función que asocia un valor numérico a cada posible resultado de un experimento aleatorio.

Ejemplo: Lanzar un dado una vez.
Sea la v.a.

X

= resultado de la tirada.

¿Cuántos sucesos elementales hay?
Al lanzar un dado, hay 6 posibles resultados (1, 2, 3, 4, 5, 6). Por lo tanto, hay 6 sucesos elementales.
¿Qué valores puede tomar
$X$
?
La variable aleatoria
$X$
puede tomar los valores
$\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$
.

Las variables aleatorias se denotan con letras mayúsculas, y sus posibles valores con letras minúsculas. Por ejemplo, si

X

es la variable aleatoria asociada a lo que sale al tirar un dado, podemos decir que:

P(X = x) = \frac{1}{6} \, \forall \, x

Hasta el momento vimos que el espacio muestral es el conjunto de resultados del experimento aleatorio. Dado el sinfín de experimentos posibles, los resultados pueden ser cosas tan diversas como

{\text{cara}; \text{cruz}}

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

{\text{ganar la lotería}, \text{no ganar la lotería}}

. Es decir, el resultado de un experimento puede ser un número, un valor booleano (si/no), un texto, etc. Una variable aleatoria puede ser numérica, booleana, etc. Pero como con los números podemos medir magnitudes y hacer operaciones, por lo general podemos extraer de ellos mayor cantidad de información. Por eso concentraremos nuestro estudio en experimentos cuyo resultado es un número, es decir, variables aleatorias numéricas.

Variables Aleatorias Discretas y Continuas

Comparemos el ejemplo del dado, donde llamamos

X

a los posibles resultados del experimento, con otro: elegimos una naranja al azar en una verdulería y llamamos

Y

al peso de la naranja elegida. Si pensamos en los valores posibles que puede tomar la variable aleatoria

Y

, no solo son infinitos, sino que entre cualquier valor y el siguiente existen infinitos valores. Así:

La variable aleatoria

X

es discreta, mientras que la variable aleatoria

Y

es continua.

Definición de Variables Aleatorias

Variable aleatoria discreta:

Aquella tal que la cantidad de valores posibles que puede tomar es finita o infinita pero numerable. Dicho de otra forma, si tomamos dos valores posibles cualesquiera, entre ellos habrá una cantidad finita de valores posibles.

Variable aleatoria continua:

Aquella tal que la cantidad de valores posibles es infinita y no numerable, como el intervalo de los números reales

R

. Magnitudes como el tiempo, el peso en kilogramos y la altura son ejemplos típicos de variables continuas.

Indique para cada una de las siguientes variables aleatorias si son discretas o continuas. Haga las aclaraciones que considere necesarias.

El número que sale al tirar un dado.
Tipo: Discreta.
Explicación: El dado tiene un número limitado de resultados posibles (1 a 6), lo cual es un conjunto finito de valores aislados.
La cantidad de caras que salen al tirar 5 monedas.
Tipo: Discreta.
Explicación: La cantidad de caras posibles es un número entero que va de 0 a 5, un conjunto numerable y finito de valores.
La cantidad de accidentes por mes.
Tipo: Discreta.
Explicación: Los accidentes se cuentan en números enteros (0, 1, 2, …), sin fraccionarios en este contexto.
Peso de una naranja.
Tipo: Continua.
Explicación: El peso puede tomar cualquier valor en un rango, incluyendo decimales, siendo un conjunto infinito y no numerable.
Diámetro de una arandela.
Tipo: Continua.
Explicación: El diámetro puede tomar infinitos valores dentro de un rango, formando un conjunto continuo y no numerable.
El país donde nació una persona.
Tipo: Discreta.
Explicación: Aunque no es numérica, la variable toma valores de un conjunto finito y numerable de países.
La edad de una persona.
Tipo: Continua (si se considera exacta).
Explicación: La edad, si se mide en fracciones, es un valor continuo, pudiendo tomar cualquier valor dentro de un rango.

Distribución de Probabilidad

La distribución de probabilidad describe cómo se asignan probabilidades a los distintos valores posibles que puede tomar una variable aleatoria. En el caso más sencillo, cada valor tiene la misma probabilidad de ocurrir, como al lanzar un dado justo, donde cada cara tiene una probabilidad idéntica de aparecer. Sin embargo, en la mayoría de las variables aleatorias, algunos valores pueden ser más probables que otros.

El conjunto de todos los valores posibles de una variable, junto con sus probabilidades respectivas, define lo que llamamos su distribución de probabilidad. Esta distribución es fundamental para entender el comportamiento y las características de la variable aleatoria en diferentes contextos.

Aspectos clave de la distribución de probabilidad:

No-negatividad: La probabilidad de cada valor debe ser igual o mayor que cero.
Suma total de 1: La suma de todas las probabilidades de los valores posibles debe ser igual a 1, porque al realizar el experimento, siempre se obtiene uno de los resultados posibles.

La distribución de probabilidad se puede representar de varias formas, dependiendo del tipo de variable aleatoria y el contexto. Generalmente, se usa una función llamada función de densidad de probabilidad (en el caso de variables continuas) o una función de masa de probabilidad (para variables discretas) para describir de manera matemática cómo se distribuyen las probabilidades entre los valores posibles.

Función de probabilidad:

Esta función le asigna a cada valor posible de la variable aleatoria un número real que consiste en la probabilidad de que ocurra, y por supuesto debe cumplir con las 2 condiciones que enunciamos antes:

a) no puede ser negativa en ningún punto
b) la suma de las probabilidades de todos los valores da 1.

Dada una variable aleatoria discreta ( X ), se define su función de probabilidad como la función que a cada valor ( x ) le asigna su probabilidad de ocurrencia:

f(x) = P(X = x)

Si llamamos ( M ) al conjunto de todos los valores que puede tomar ( X ), es evidente que esta función cumple las siguientes propiedades:

$0 \leq f(x) \leq 1, \, \forall x$
$\sum_{x \in M} f(x) = 1$

Si llamamos ( M ) al conjunto de todos los valores que puede tomar la variable aleatoria ( X ), podemos analizar algunas propiedades fundamentales de la función de probabilidad ( f(x) ). Estas propiedades son esenciales para que ( f(x) ) se considere una función de probabilidad válida.

1. Primera propiedad:

0 \leq f(x) \leq 1, \, \forall x

Esta propiedad establece que la función de probabilidad ( f(x) ) debe ser siempre mayor o igual a cero y menor o igual a uno para todos los valores ( x ) en ( M ). Esto tiene sentido, ya que las probabilidades no pueden ser negativas ni pueden superar la certeza (que se representa como 1).

2. Segunda propiedad:

\sum_{x \in M} f(x) = 1

Esta propiedad indica que la suma de las probabilidades de todos los posibles valores que puede tomar ( X ) debe ser igual a 1. Esto es crucial porque significa que, si consideramos todos los eventos posibles, la certeza de que algo ocurra es del 100%. En otras palabras, si sumamos todas las probabilidades de los eventos en el conjunto ( M ), obtenemos la certeza de que uno de esos eventos sucederá.

Ejemplo 1:

Si ( X ) es el resultado que se observa al tirar un dado, su función de probabilidad es:

f(x) = \begin{cases} \frac{1}{6} & \forall x \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \\ 0 & \text{en otro caso} \end{cases}

Podemos expresar esta función en forma de tabla:

Resumen de lo que fue la cursada:

La cursada fue bastante buena, la profesora explico excelente , el curso fue interesante , aprendimos acerca de la probabilidad y estadistica basica , y como se aplica en la vida cotidiana.

Aprendimos a usar herramientas tales como Esperanza, Varianza ,Desviacion estandar , y como se usan en la vida real.